Question

Sa se determine m apartine lui R pt care inegalitatile sunt verificate pt orice x apartine lui R. a) (m-4) x^2+(m-5)x+m-5<0...b)(m^+3m)x^2-2(m+3)x+2>0

Answer 1

Salut,

Punctul a:

Coeficientul lui x² este m-4. Pentru ca toate valorile funcţiei de gradul al II-lea să fie negative, trebuie ca m - 4 < 0 (graficul este o parabolă cu "braţele" în jos).

m - 4 < 0, deci m ∈(-∞,4) (1).

A doua condiţie este ca Δ = b²-4ac < 0, adică ecuaţia (m-4)x²+(m-5)x+m-5=0 nu are soluţii reale, deci graficul nu intersectează axa OX, adică parabola se află în întregime SUB axa OX.

Δ = b²-4ac < 0, sau (m-5)² - 4(m-4)(m-5) < 0, sau m² - 10m + 25 - 4m² + 36m - 80 < 0, sau -3m² + 26m - 55 < 0.

Coeficientul lui m² este -3 < 0, deci funcţia are valori negative în afara rădăcinilor m₁ şi m₂, vezi mai jos.

Δm = 26² - 4*(-3)*(-55) = 16, deci √(Dm) = 4.

-3m² + 26m - 55 = 0

$m_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta_m}}{2a}=\dfrac{-26\pm 4}{2\cdot(-3)}\Rightarrow m_1=\dfrac{11}3,\;m_2=5$

Deci soluţia inecuaţiei -3m² + 26m - 55 < 0 este m ∈ (-∞,11/3) ∪ (5,+∞) (2).

Dacă instersectăm (1) şi (2) obţinem:

m ∈ (-∞,4) ∩  (-∞,11/3) ∪ (5,+∞), deci m ∈ (-∞,11/3).

Punctul b se rezolvă în mod similar, dar atenţie mare că inecuaţia de la punctul b are la final ">0".

Green eyes.