Question

Sa se determine m apartine R astfel incat parabolele asociate functiilor f,g:R->R, f(x)=mx^2+x+1-m, m diferit de 0 si g(x)=x^2+mx-1 se se intersecteze in doua puncte distincte.

Answer 1

Ca cele 2 parabole sa se intersecteze in 2 puncte, ecuatia f(x) = g(x) trebuie sa aiba 2 solutii distincte, deci Δ > 0.


[tex]mx^2+x+1-m=x^2+mx-1\\ (m-1)x^2+(1-m)x+2-m=0\\ \Delta=(1-m)^2-4(2-m)(m-1)=m^2-2m+1+4m^2-12m+8\\ \Delta=5m^2-14m+9\ \textgreater \ 0[/tex]

[tex]\Delta_2=14^2-4*5*9=196-180=16\\ m_1= \frac{14+4}{10}=\frac{9}{5}\\ m_2= \frac{14-4}{10}=1 [/tex]

Functia noastra este mai mare ca 0 pe intervalele: m ∈ (-∞, 1) ∪ (9/5, ∞), conform solutiilor,