Question

Sa se determine m real astfel incat functia f definita pe R, cu valori in R, f(x) =(x^2-m)*e^(2x) este monotona.

Answer 1

f'(x) =2xe^2x+2(x²-m) e^2x=e^2x*(2x²+2x-2m)=2e^2x *(x²+x-m)
2>0
e^2x>0,∀x∈R
semnul este dat de (x²+x-m)



x²+x-m functiede grad 2
ecuatia atasata are
Δ=1+4m
pt Δ>0, exista x1 ≠x2∈R derivata schimba semnul, functia nu e monotona

ptΔ=0 exista x1=x2, derivata nu schimba semnul, desi se anuleaza odata , functia este monotona

pt Δ<0, x1, x2∉R, derivata are semnul lui 1, adica +,  pe tot R, functia este monotona
deci
Δ≤0, 1+4m≤0, 4m≤0, m≤-1/4
m∈(-∞;-1/4]
as tricky as that!!