Question

Sa se determine monotonia si marginirea sirului an=(2n+alfa)/n+1, alfa aparține R, discutând dupa parametrul alfa. ​

Answer 1

Răspuns:

$a_n=\frac{2n+\alpha}{n+1}=\frac{2n+2+\alpha -2}{n+1}=2+\frac{\alpha-2}{n+1}$

Comparam a$_{n-1}$ cu a$_n$

$a_n-a_{n-1}=2+\frac{\alpha -2}{n+1}-2-\frac{\alpha -2}{n}=\frac{n(\alpha -2)-(n+1)(\alpha -2)}{n(n+1)}=\frac{2-\alpha}{n(n+1)}$

Daca $\alpha >2$ atunci $2-\alpha <0$ iar sirul este strict descrescator

Limita superioara este $a_0=\alpha$, iar din moment ce sirul este infinit si strict descrescator, nu are limita inferioara

Daca $\alpha =2$ atunci $a_n=2,\forall n\in\mathbb{N}$ - sir constant (monoton si marginit)

Daca $\alpha <2$ atunci $2-\alpha >0$ - sir strict crescator

Limita inferioara $a_0=\alpha$; nu are limita superioara

Observam ca sirul este monoton pentru orice $\alpha\in\mathbb{R}$