Question

Sa se determine multimea limitelor subsirurilor urmatoarelor siruri:
a) a_n = 1 + (-1)^n
b) a_n = [(-1)^n · n] / (n+1)
c) a_n = 2 · sin (npi)/3

Answer 1

a)

se pune problema daca n este par sau impar, deci avem doua subsiruri

1. n=par  lim a_n=1+1=2

2. n=impar lim a_n=1-1=0  Deci multimea limitelor va fi {0,1}

b)

avem de asemenea doua situatii care influienteaza relatia

1. n=par a_n=n/(n+1) cu limita la infinit 1

2. n=impar an=-n/(n+1) cu limita la infinit -1

deci multimea va fi {-1, 1}

c)

gandim situatiile ce apar la parcurgerea unui cerc trigonometric (adica pe intervalul [0, 2pi]:

n=0  a0=2sin 0*pi/3=2*0=0

n=1  a1=2sin pi/3=2√3/2=√3

n=2 a2=2 sin 2pi/3=√3

n=3 a3=2sin 3pi/3=0

n=4  a4=-√3

n=5 a5=-√3

continuam pe urmatorul interval egal cu 2pi:             n=6      a6=a0=0

ptr n=7 obtinem suprapunerea pe cerc cu n=1 (adica a7=2sin7pi/3=2sin(pi/3+2pi)=2 sinpi/3=a1

ptr n=8 obtinem suprapunerea pe cerc cu n=2 (adica a8=2sin8pi/3=2sin(2pi/3+2pi)=2 sin2pi/3=a2

etc.

deci avem 6 subsiruri care au ca limita numerele 0, √3 sau -√3 (in functie de forma lui n=6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5)

deci multimea limitelor subsirurilor ce pot deriva din sirul nostru este {-√3, 0, √3}