Question

Să se determine mulțimea tuturor valorilor lui x știind că numerele
${9}^{x} - 1 \\ 6 {}^{x} \\ 4 {}^{x} + 1$
sunt în progresie geometrică​

Answer 1

Cele 3 numere se afla in progresie aritmetica de unde obtinem ca

6ˣ = ( 9ˣ -1 +4ˣ +1 )/2 <=> 6ˣ = ( 9ˣ +4ˣ ) /2 <=>

2·6ˣ = 9ˣ +4ˣ iar prin impartire la 6ˣ ≠ 0 (pentru orice x real) ecuatia devine

2 = (9/6)ˣ +(4/6)ˣ <=> 2 = (3/2)ˣ +(2/3)ˣ <=>

2 = (3/2)ˣ +(3/2)⁻ˣ

Din inegalitatea mediilor avem ca (3/2)ˣ +(3/2)⁻ˣ >= 2·√(3/2 ·2/3)ˣ = 2·1 =2 deci obtinem egalitate in inegalitatea mediilor ceea ce implica

(3/2)ˣ = (2/3)ˣ <=> (3/2 ·3/2)ˣ = 1 <=> (9/4)ˣ = 1 <=> (9/4)ˣ = (9/4)⁰ si cum functia crescatoare este injectiva => x = 0.