Question

Sa se determine n apartine lui N astfel încât x = 5^n + 5 ^(n+1) + 5^(n+2) +5^(n+3) sa aibă exact 120 de divizori​

Answer 1

x = 5ⁿ + 5ⁿ⁺¹ + 5ⁿ⁺² + 5ⁿ⁺³, n ∈ IN.
putem scrie pe 5ⁿ⁺¹ ca și 5ⁿ · 5¹.
putem scrie pe 5ⁿ⁺² ca și 5ⁿ · 5².
putem scrie pe 5ⁿ⁺³ ca și 5ⁿ · 5³.
se datorează faptului că :
5ˣ · 5ʸ = 5ˣ ⁺ ʸ.

x = 5ⁿ + 5ⁿ · 5 + 5ⁿ · 5² + 5ⁿ · 5³.
vom da factor comun pe 5ⁿ.
x = 5ⁿ · ( 1 + 5 + 5² + 5³ ).
x = 5ⁿ · 156.
vom descompune numărul 156 în factori primi.
156 = 2² · 3¹ · 13¹.
x = 5ⁿ · 2² · 3¹ · 13¹.
numărul se divizori ai unui număr b de forma : b = p₁ˣ · p₂ʸ · ... · pₐᶻ, p₁, p₂, ..., pₐ = prime, x, y, ... , z, p₁, p₂, ..., pₐ ∈ IN.
numărul de divizori ai numărului b se află cu ajutorul :
N = ( x + 1 ) ( y + 1 ) ... ( z + 1 ).
numărul de divizori ai numărului x este :
N = ( n + 1 ) ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ).
N = 120, deci :
120 = ( n + 1 ) · 3 · 2 · 2, 120 = ( n + 1 ) · 12, împărțim ambii membri cu 12, obținem :
10 = n + 1, deci n este 9 !.