Question

Să se determine numarul complex al carui pătrat este egal cu :
3+4i

Answer 1

Fie z=a+bi  numarul  cautat
z²=(a+bi)²=(a²-b²)+2abi
Paranteza  reprezinta  partea  reala  a  lui  z² si  2ab  partea  imaginara.Faci  sistem
{a²-b²=3
{2abi=4i=>ab=2=.> b=2/a Inlocuiesti  aceasta  valoare  in  prima  ecuatie
a²-4/a²=3  =.> a^4-3a²-4=0  Faci  substitutia  a²=t  t≥0
t²-3t-4=0  t1=-1<0 nu  se  accepta  si  t2=4>0 solutie
a²=4 a1=-2  a2=2
b1=-2/2=-1
b2=2/2=1
z1=-2-i
z2=2+i

Answer 2

Fie z=x+yi, x,y∈R, avem z²=(x²-y²)+2xyi =3+4i, identificand partile reale si coeficientii partilor imaginare obtinem : x²-y²=3  si 
                                                                     xy=2         sau y=2/x
pe care il competam cu modulul lui la patrat  Iz²I=IzI² = x²+y² = I3+4iI=
=√(3²+4²)=5, adica x²+y²=5
Luam sistemul format de prima ecuatie si ultima , le adunam⇒2x²=8, deci x1=2, rezulta y1=2/2=1, si x2=-2, rezulta y2=-1. Deci solutiile sunt 
z1=2+i si z2=-2-i