Question

sa se determine numarul natural n din egalitatea 1+5+9+...+n=231

Answer 1

Voi folosi m în suma noastră $1+5+9+...+m = 231$
Memoria mea nu a putut niciodată să rețină formule, așa că am dedus aici formula:

[tex]a_1 + a_2 +...+a_n = s\\~ a_1 = a\\~ a_2 = a+r\\~ ...\\~ a_n = a_{n-1}+(n-1)r\\~ a+a+r+a+2r+...+a+(n-1)r=s\\~ na+\frac{n(n-1)}{2}r = s\\~ n(a+\frac{(n-1)r}{2}) = s\\~ n(\frac{2a+(n-1)r}{2}) = s\\~ \frac{n(a+a_n)}{2} = s\\~[/tex]

Acum trebuie doar să aflăm câți termeni sunt în sumă și vom putea aplica formula. Formula pentru a afla câți termeni sunt e mai ușor de reținut: $n = \frac{a_n-a_1}{2}+1$.

Acum revenim la cazul nostru: $n = \frac{m-1}{4}+1=\frac{m+3}{4}$ , nu arată prea bine, dar acum putem înlocui în formula pe care am obținut-o anterior:
[tex]\frac{m+3}{4}\frac{1+m}{2} = 231\\~ (m+3)(m+1) = 231*8\\~ m^2+m+3m+3=1848\\~ m^2+4m+3-1848 = 0\\~ m^2+4m-1845=0\\~ \Delta = 16+4*1845 = 86^2\\~ m_1 = \frac{-4+86}{2} = 41\\~ m_2 = \frac{-4-86}{2} = -45\\~[/tex]

Evident, doar m1 este soluție pentru că nu putem avea un număr negativ de termeni.