Question

Să se determine numărul natural n și numerele naturale prime p și q , p < q , care verifică egalitatea:

p^(q) + q^(p) − 5^(n) = 8360.


VA ROG AJUTATI-MA

Answer 1

Presupunem că p și q sunt ambele impare, atunci $\displaystyle\\p^q+q^p$ este par, dar

$5^n$ este impar vom obține că $p^q+q^p-5^n$ este impar dar din ipoteză avem că

$p^q+q^p-5^n=8360$ care este par, deci obținem că unul dintre cele două numere p și q este par adică 2 pentru că numerele p și q sunt prime.

Cum $p<q$, evident, $p=2$, iar relația se scrie:

$2^q+q^2-5^n=8360\Longleftrightarrow 2^q+q^2=8360+5^n~~~~~~~~~~~~~~~~(1).$

Se observă că $n=0$ implică $q=13.$

Acum, pentru $n\geq 1$, ultima cifră a membrului drept al relației (1) va fi 5, dar prin verificări se arată că ultima cifră a membrului stâng al relației (1) nu poate fi 5, deci de aici obtinem soluția unică $\boxed{(n,p,q)\in\left\{(0,2,13)\right\}}.$