Question

Sa se determine pozitia relativa a dreptei x-y+2=0 fata de parabola y²=8x.

Answer 1

nu poate fi decat exterioara, tangenta sau sa o intersecteze in 2 puncte
la bunul simt ar  parea exterioara, pt ca x creste mai repededecat √8x si ordonata la origine este 2>0 punctul din care pleaca cele 2 ramuri ale parabolei

dar pt rigoare, rezolvam analitic
rezolvam sistemele
y=x+2=√8x cu y>0 pentru ramura de deasupara axei Ox
si
y=x+2=-√8x cu y<0 pentru ramura de dedesubtul axei Ox

x+2=√8x
x²+4x+4=8x
x²-4x+4=0
x=2>0 convine deci x=2; y=2+2; y=4 ;sau y=√(8*2)=√16=4; deci P(2;4)punct comun,deci impresia grafica a fost gresita

x+2=-√8x
x²+4x+4=8x
.....................
analog rezulta x=2, y=-4 care nu convine pt ca nu apartine graficului dreptei y=x+2

sau grafic, y=x+2 trece, in ordinea crescatoare de la -∞la∞ prin cadranele 3, 2si 1, iar ramura y=-√8x a parabolei y²=8x  trece doar prin cadranul 4

deci avem un singur punct comun P (2;4) deci dreapta  e  TANGENTA la parabola


pt verificare EXTRA (clasa a 11-a) sa incercam sa scriem ec tangentei in punctul x=2 la graficul functiei f(x)=√8x ar trebui sa ne rezulte y=x+2
f(2)=√8*2=4
f'(x)= √8 * (1/2√x)=2√2/2√x=√2/√x
f'(2)=√2/√2=1  deja e bine, panta e 1, aceasi cu a drepei y=x+2
Ecuatia tangentei in punctulde coordonate (2;4)
y-f(2)=f'(2)(x-2)
y-4=1(x-2)
y-4=x-2
y=x+4-2
y=x+2  YESSSS!