Question

Sa se determine primul termen și ratia progresiei geometrice (an )dacă a5-a1=30 și a4-a2=12(sistem)

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\begin{cases} a_{5} - a_{1} = 30\\a_{4} - a_{2} = 12 \end{cases} \iff \begin{cases} a_{1} \cdot q^{4} - a_{1} = 30\\a_{1} \cdot q^{3} - a_{1} \cdot q = 12 \end{cases}$

$\begin{cases} a_{1} \cdot (q^{4} - 1) = 30\\a_{1} \cdot q(q^{2} - 1) = 12 \end{cases} \iff \begin{cases} a_{1} \cdot (q^{2} - 1)(q^{2} + 1) = 30\\a_{1} \cdot q(q^{2} - 1) = 12 \end{cases}$

q ≠ ±1, q ≠ 0

$12(q^{2} + 1) = 30q \iff 2(q^{2} + 1) = 5q$

$2q^{2} - 5q + 2 = 0$

$(2q - 1)(q - 2) = 0$

$q = \dfrac{1}{2}$

$a_{1} \cdot \dfrac{1}{2} \bigg(\dfrac{1}{4} - 1 \bigg) = 12 \implies a_{1} = - 32$

$q = 2$

$a_{1} \cdot 2 \bigg(4 - 1 \bigg) = 12 \implies a_{1} = 2$