Question

Sa se determine restul impartirii polinomului (X^3+X+1)^19 la polinomul X^2-X+1

Answer 1

impartitorul g=x² -x +1  are  Δ= -3  si radacinile x₁ = ( 1+ √3i) /2  si x₂=(1 -√3i)/2
care verifica ecuatia  , g(x₁) =0 si g(x₂)=0  radacini care x₁³ = x₂³  = - 1
atunci gradul restului este 2  . r= ax+b
teorema impartirii cu rest 
f= g·c +r 
( x³₁  +x₁ +1) la 19 = ( x²₁ - x₁+1) · c₁ + ax₁+b
 ↓=-1                                ↓=0
( x³₂+x₂+1 ) la 19=( x²₂ -x₂+1) · c₂+ax₂ +b
↓=-1
                                  ↓=0

(-1 +x₁+1)la 19= ax₁+b                               ax₁+b = x₁la puterea 19
(-1 +x₂+1) la 19=ax₂+b                               ax₂+b= x₂ la puterea 19
                                             scadere    a( x₁-x₂ ) = x₁laputrea 19 -x₂laputerea 19
√3i·a= (x₁ -x₂) ( x₁^18 + x₁^17x₂+x₁^16x₂² + ........+ x₁x₂^17+x₂^18)
                          ↓              ↓                                                 ↓
                        -1          x₁x₂·x₁^16                                             -1 
                                        ↓    ↓
                                         1    x₁   samd
                                                     
√3i·a=√3i·(1-x₁+x₁²+1-x₁+x₁²+1-x₁+x₁²+x₁⁹x₂⁹+x₁⁸x₂¹⁰+x₁⁷x₂¹¹+x₁⁶x₂¹²+x₁⁵x₂¹³+x₁⁴x₂¹⁴+x₁³x₂¹⁵+x₁²x₂¹⁶+x₁x₂¹⁷+x₂¹⁸)=
=1-x₁+x₁²+1-x₁+x₁²+1-x₁+x₁²+1+x₂²-x₂+1+x₂²-x₂+1+x₂²-x₂+1=
=7 -3(x₁+x₂)+3( x₁²+x₂²) =7 -3·1+3(-1)=1             ⇒ a=1

b= 0