Question

Să se determine termenul din mijloc al dezvoltării $(\frac{\sqrt{a}}{a^{2}}+\frac{{a}}{\sqrt[5]{{a}^{2}\cdot\sqrt{a}}})^{n}$, știind că raportul dintre coeficientul termenului al cincilea și coeficientul termenului al treilea este $\frac{14}{3}$.

Answer 1

Salut,

Din enunţ:

$\dfrac{C_n^4}{C_n^2}=\dfrac{14}3,\;sau\;\dfrac{\dfrac{n!}{4!\cdot(n-4)!)}}{\dfrac{n!}{2!\cdot(n-2)!)}}=\dfrac{14}3\;sau\;\dfrac{2\cdot(n-2)!}{24\cdot(n-4)!}=\dfrac{14}3,\;sau\\\\\\\dfrac{(n-2)\cdot(n-3)(n-4)!}{12\cdot(n-4)!}=\dfrac{14}3\Rightarrow (n-2)(n-3)=56.$

n-3 şi n-2 sunt 2 numere naturale consecutive, al căror produs este egal cu 56. Înseamnă că n-3=7 şi n-2=8, deci singura soluţie naturală este n=10.

Dacă puterea binomului este 10, atunci dezvoltarea are 11 termeni, deci termenul din mijloc este al şaselea, deci k=5.

$T_6=C_{10}^5\cdot\left(a^{-\frac{3}2}\right)^5\cdot\left(a^{\frac{1}2}\right)^5=C_{10}^5\cdot a^{-5}.$

Green eyes.

P.S. Bazează-te pe tine însuţi/însăţi, pentru că în întuneric până şi propria ta umbră te va părăsi.