Question

sa se determine termenul general şi r unei progresii aritmetice dacă suma primilor n termeni este Sn=5n^2+3n

Answer 1

notam primul termen cu a , in progresie aritmetica termeni cresc cu o ratie (notam ratia cu r)

deci avem :

a+ (a+r) +(a+2*r) +(a+3*r)+...+(a+r*(n-1))=5n^2+3n <=>
<=>  n*a +r*(1+2+3+...+n-1)=5*n^2+3n <=>
<=> n*a +r*n*(n-1)/2 =5*n^2+3n                /inmultim atat la stanga cat si la dreapta cu 2(pt a scapa de fractie si obtinem:
<=> 2*a*n+r*n*(n-1)=10*n^2+6*n <=>
<=>2*a*n+r*n^2 -r*n =10*n^2+6*m <=>
<=>n*(2*a-r) +r*n^2 =10*n^2 +6*n <=>
<=> 2*a-r=6 si r=10 <=>
<=>a=8
deci progresia noastra era de forma :
8+ (8+10) +(8+2*10) +...+(8+(n-1)*10)

termenul general fiind 8+(n-1)*10

Answer 2

$a_1=S_1 =5\cdot1+3\cdot1=8$

Deci, primul termen al progresiei este   $a_1=8$

$a_1+a_2=S_2=5\cdot2^2+3\cdot2=20+6=26$

Dar, $a_1+a_2=8+a_2$

Rezulta ca:  $8+a_2=26 \Longrightarrow \ a_2=26-8\ \Longrightarrow\ a_2=18$

Ratia este diferenta dintre doi termeni consecutivi.

r=18-8=10

Daca stim primul termen si ratia , atunci termenul general se calculeaza cu formula:

$a_n=a_1+(n-1)r =8+(n-1)\cdot10=8+10n-10=10n-2$