Question

Sa se determine:
$\frac{1*3*5*...*(2n+1)}{2*4*6*...*(2n+2)}\leq \frac{1}{\sqrt{2n+3} }$, pentru oricare $n \geq 1$ n ∈ N

Answer 1

PP că ai studiat inducția matematica
Pasul 1: verificare
ptr n=1
1*3/2*4<=1/√5
3√5<=8
45<=64 adevarat
pasul 2: PP adevărată ptr n și demonstrăm că e adevărată și ptr (n+1):
E(n+1)=1*3*5*....*[2(n+1)+1] / 2*4*....*[2(n+1)+2]<=1/√[2(n+1)+3]
E(n+1)=E(n)*(2n+3)/(2n+4)<=[1/√(2n+3)]*(2n+3)/(2n+4)
ptr a fi adevărată inegalitatea din enunț, trebuie arătat că E(n+1)<=1/(2n+5)
dar
1/√(2n+3) * (2n+3)/(2n+4)=√(2n+3)/(2n+4)<=1/√(2n+5)
ultima inegalitate însemna
√(2n+3)(2n+5)=(2n+4)
ridicam la pătrat
4n°2+15+16n<=4n^2+16n+16
15<=16 adevărată
Concluzie: relația din enunț este valabilă și pentru n+1, deci ptr orice n>=1 natural