Question

Sa se determine toate functiile f:R->R, stiind ca f(x)+f([x])+f({x})=x, V x apartine lui R. Ma ajuta cineva? :)
Problema luata din cartea de admitere la UPT. AL 59

Answer 1

Salut,

 

În enunț ai o ecuație cu 3 necunoscute: f(x), f([x]) și f({x}). Pentru a rezolva astfel de probleme, teoretic mai ai nevoie de 2 ecuații, pentru a avea 3 ecuații cu 3 necunoscute.

De fapt, ai nevoie doar de f(x). Din enunț avem că: 

f([x]) + f({x}) = x – f(x) (1).

 

[x] reprezintă partea întreagă a lui x (adică numărul întreg înainte de virgulă), iar {x} este partea fracționară a lui x, adică numărul 0,abc..., unde abc... sunt toate cifrele de după virgulă.

 

Dacă relația din enunț este valabilă pentru orice x real, atunci ea este valabilă pentru x = 0, deci:

 

f(0) + f([0]) + f({0}) = x => f(0) + f(0) + f(0) = 0, sau 3f(0) = 0, deci f(0) = 0 (2).

 

Câteva pregătiri importante, înainte de a trece la rezolvarea propriu-zisă:

 

Pentru orice x real avem că [x] + {x} = x, unde 0 ≤ {x} < 1 (3)

 

[[x]] = [x], adică partea întreagă din partea întreagă este tot partea întreagă a lui x (simplu, nu ?) (4).

 

{[x]} = 0, adică partea fracționară din partea întreagă este 0, pentru că un număr întreg nu are nimic după virgulă (5).

 

[{x}] = 0, adică partea întreagă din partea fracționară este tot 0, pentru că un număr subunitar (vezi relația (3) de mai sus) îl are chiar pe 0 înainte de virgulă (6).

 

{{x}} = {x}, adică partea fracționară din partea fracționară este tot partea fracționară a lui x (simplu, nu ?) (7).

 

Având în vedere că este valabilă pentru orice x real, în relația din enunț, înlocuim pe x cu [x] și obținem:

 

f([x]) + f([[x]]) + f({[x]}) = [x], ne folosim de relațiile (4) și (5) și avem că: f([x]) + f([x]) + f(0) = [x], sau 2f([x]) = [x], deci f([x]) = [x]/2 (8).

 

Din nou, având în vedere că este valabilă pentru orice x real, în relația din enunț înlocuim pe x cu {x} și obținem:

 

f({x}) + f([{x}]) + f({{x}}) = {x}, ne folosim de relațiile (6) și (7) și avem că: f({x}) + f(0) + f({x}) = {x}, sau 2f({x}) = {x}, deci f({x}) = {x}/2 (9).

 

Dacă adunăm relațiile (8) și (9) membru cu membru, obținem așa:

 

f([x]) + f({x}) = ([x] + {x})/2, care cu relațiile (1) și (3) devine x – f(x) = x/2, sau f(x) = x/2.

 

Green eyes.