Question

Să se determine toate funcțiile reale, pentru care are loc relația:
$f(x+\frac{1}{x} )=x^{2} +\frac{1}{x^{2} }$

Answer 1

Răspuns:

$f(x)=x^{2} -2$

Explicație pas cu pas:

Daca facem substitutia:

$x+\frac{1}{x} =t$

Atunci avem:

$x^{2} +\frac{1}{x^{2} } +2x*\frac{1}{x} =t^{2}$

Substituind în ecuația inițială, obținem:

$f(t)=t^{2} -2$

Prin urmare, aceasta este unica funcție care satisface relația din enunț.

Answer 2

Salut,

Avem așa:

$\left(x+\dfrac{1}x\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{1}x+\left(\dfrac{1}x\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}\Rightarrow\\\\\Rightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}x\right)^2-2.\ Dac\breve{a}\ not\breve{a}m\ p=x+\dfrac{1}x,\ func\c{t}ia\ din\ enun\c{t}\ devine:\\\\f(p)=p^2-2.$

Cum notația este arbitrară (poate fi aleasă oricum), avem că:

f(x) = x² -- 2, pentru orice x real.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.