Question

Sa se determine toate valorile parametrului m real, stiind ca graficul functiei f:R->R, f(x)=|m-2x|-|x+3|+1 intersecteaza axa Ox intr-un singur punct.

Answer 1

cam grea; am preferat o rezolvare grafica,ma descurc mai bine cu graficele, sper ca rezolvarea sa fie si corecta, s-a cam verificat


in primul rand |m-2x|=|2x-m|
apoi ptca f(x) sa aibe o singura intersectie cu axa Ox inseamna ca ecuatia
f(x) =0 sa aibe o singura solutie
|2x-m|+1-|x+3|=0 o solutie
|2x-m|+1=|x+3|  o solutie
 intersectia graficelor functiilor h(x)= |2x-m|+1 si g(x)=|x+3| sa contina un singur punct

h(x)=|2x-m|+1=|x+3|=g(x)
|2x-m|+1≥1
|x+3|≥0

pantele lui |x+3| sunt -1(de la -∞pana la -3)  si 1 (de la -3 la ∞)iar pantele lui |2x-m| sunt -2 (de la -∞pana la x=m/2) si +2 de la x=m/2 la ∞

deci daca minimul functie din stanga (m/2;1) nu se afla  pe graficul functiei |x+3| intersectia celor 2 grafice va avea 2 puncte ( desen 1) sau nici un punct, (desen 4)

pt ca intersectia celor  2 graficesa contina exact unpunct, varful lui h(x) trebuie sa se afle excat  pe g(x)
dar g(x) are 2 ramuri

g(x) = |x+3|= x+3 pt x>-3
                 = -x-3 ptx<-3
                  

pt (m/2;1) se afla pe g(x)=x+3  pt x>-3  se obtine m=-4 vezi al doilea desen

pt (m/2;1) se afla pe portiuneag(x) -x-3  se obtine m=-8 ; vezi al treilea desen
intre aceste valori. -8 si-4, graficele nu au nici un punct comun (pagina 4)

deci m={-8;-4}


verificare
pt m=-4
|2x+4|+1=|x+3|
|2x+4|+1= |x+3| vezi pagina 5,desen la scara un singur punct de intersectie
|2x+8|+1=|x+3|, vezi idem ,desen la scara un singur punctde intersectie acelor 2 grafice

graficele sunt de fapt tangente ...
prin intresectie trebuie inteles Grafic h(x) ∩ grafic g(x)