Question

Sa se determine ultima cifra a sumei 2^n +3^n +...+ 9^n

Answer 1

S = 2^n + 3^n + 4^n + ...... + 9^n.
2^1=2;   2^2=4;   2^3=8;   2^4=16 (ultima cifra este 2, 4, 8, 6, apoi se repeta);
3^1=3;   3^2=9;   3^3=27; 3^4=81 (ultima cifra este 3, 9, 7, 1, apoi se repeta);
4^1=4;   4^2=16 (ultima cifra este 4,6, apoi se repeta);
5^1=5;   5^2=25 (ultima cifra este intotdeauna 5);
6^1=6;   6^2=36 (ultima cifra este intotdeauna 6);
7^1=7; 7^2=49; 7^3=343; 7^4=2401 (ultima cifra: 7, 9, 3, 1, apoi se repeta).
8^1=8; 8^2=64; 8^3=512; 8^4=4096 (ultima cifra: 8, 4, 2, 6, apoi se repeta).   
9^1=9; 9^2=81 (ultima cifra este 9, 1, apoi se repeta).

Avem 4 cazuri:
1). daca n : 4 = a rest 1, S = 2+3+4+5+6+7+8+9 = 44 (ultima cifra este 4);
2). daca n : 4 = b rest 2, S = 4+9+6+5+6+9+4+1 = 44 (ultima cifra este 4);
3). daca n : 4 = c rest 3, S = 8+7+4+5+6+3+2+9 = 44 (ultima cifra este 4);
4). daca n : 4 = d rest 0, S = 6+1+6+5+6+1+6+1 = 32 (ultima cifra este 2).

Raspuns: Pentru n divizibil cu 4, ultima cifra a sumei este 2. Pentru orice alta valoare a lui n, ultima cifra este 4.