Question

Sa se determine valorile parametrului real m astfel încât toată rădăcinile ecuatiei x(x-1)(x-4)(x-5)=m sa fie reale. Rezultatul e m€[-4,225/16]

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

x(x - 5)(x - 1)(x - 4) - m = 0

(x² - 5x)(x² - 5x + 4) - m = 0

(x² - 5x)[(x² - 5x) + 4] - m = 0

(x² - 5x)² + 4(x² - 5x) - m = 0

notăm: x² - 5x = t

t² + 4t - m = 0

se impune ca Δ = 4² + 4m = 16 + 4m ≥ 0 ⇒ m ≥ -4 ⇔ m ∈ [-4 , +∞)   (*)

astfel ecuația în necunoscuta t are două soluții reale distincte (m > -4) sau identice (m = -4)

t12 = (-4 ± 2√(4 + m))/2 = -2 ± √(4 + m)

cazul 1:

x² - 5x = -2 - √(4 + m)

x² - 5x + 2 + √(4 + m) = 0

se impune ca Δ1 = 25 - 8 - 4√(4 + m) ≥ 0 ⇔ 4√(4 + m) ≤ 17 |²

⇔ 16(4 + m) ≤ 289 ⇔ m + 4 ≤ 289/16 ⇔ m ≤ 289/16 - 4 ⇒ m ≤  225/16

⇔ m ∈ (-∞, 225/16]  (**)

cazul 2:

x² - 5x = -2 + √(4 + m)

x² - 5x + 2 - √(4 + m) = 0

se impune ca Δ2 = 25 - 8 + 4√(4 + m) ≥ 0 ⇔ 4√(4 + m) ≥ -17 inegalitate adevărată pentru orice m ≥ -4

⇒ m ∈ (*) ∩ (**), adică m ∈ [-4, +∞) ∩ (-∞, 225/16]

⇒ m ∈ [-4, 225/16]