Question

Sa se determine x€R pentru care x(x-1)

Answer 1

$x(x-1) \leq (2x-1)^2+x-6 \\ x^2-x \leq 4x^2-4x+1+x-6 \\ 3x^2-2x-6 \geq 0$


De aici ai inecuatie de gradul 2. O rezolv ca la clasa a 9a. Daca nu stii, atunci ma voi gandi dupa cum se completeaza patratul de binom.

$3x^2-2x-6 \geq 0 \\ \Delta =(-2)^2-4\cdot3\cdot(-6)=4+72=76 \\ x_1= \frac{2-\sqrt{76}}{6}= \frac{2-2\sqrt19}{6}= \frac{1-\sqrt19}{3} \\ x_2= \frac{1+\sqrt19}{3}$

Functia are semnul coeficientului lui x patrat in afara radacinilor deci pentru noi inecuatia este adevarata pentru
$x\in[ \frac{1-\sqrt19}{3}; \frac{1+\sqrt19}{3}]$

Answer 2

$\displaystyle x(x-1) \leq (2x-1)^2+x-6 \\ x^2-x \leq (2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 1+1^2+x-6 \\ x^2-x \leq 4x^2-4x+1+x-6 \\ x^2-4x^2-x+4x-x=1-6 \\ -3x^2+2x \leq -5 \\ -3x^2+2x+5 \leq 0 \\ 3x^2-2x-5 \geq 0 \\ a=3,b=-2,c=-5 \\ \Delta =b^2-4ac=2^2 -4 \cdot3 \cdot (-5)=4+60=64\ \textgreater \ 0 \\ x_1= \frac{2+ \sqrt{64} }{2 \cdot 3} = \frac{2+8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \\ \\ x_2= \frac{2- \sqrt{64} }{2 \cdot 3} = \frac{2-8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} =-1 \\ x \in [-1, \frac{5}{3} ]$