Question

Sa se determine x si y astfel incat 1*2*3*4*...*x+57=y^4

Answer 1

Ultima cifra a unui patrat perfect de forma y² unde y∈N este
u.c(y²)∈{0;1;4;5;6;9}
y⁴=(y²)² ⇒membrul din dreapta al ecuatiei de mai sus este patrat perfect si are ca ultima cifra
u.c((y²)²)∈{0;1;5;6}
Deoarece membrul din dreapta al ecuatiei este patrat perfect atunci ,evident ca 1·2·3·4·...·x+57 este patrat perfect.
Pentru x∈N distingem doua cazuri
a. x>5 ; b. x<5 ;
Daca x>5 atunci numarul 1·2·3·...·x va contine cel putin un multiplu de 10 sau un produs dintre 5 si respectiv un numar par(2;4;6;8 etc) ⇒
u.c(1·2·3·...·x +57)=u.c(1·2·3·...·x)+u.c(57)=0+7=7
Ultima  cifra a unui patrat nu poate fi 2;3;7 sau 8 deci pentru x>5 nu convine cerinta.
Daca x<5 ⇒x∈{1;2;3;4}
Daca x=1 ⇒1+57=y⁴ ⇔58=y⁴ ⇔imposibil deoarece 8 nu este ultima cifra de patrat perfect;
Daca x=2 ⇒2+57=y⁴ ⇔59=y⁴ ⇔nu convine varianta ;
Daca x=3 ⇒6+57=y⁴ ⇔63=y⁴ ⇔imposibil deoarece 3 nu este ultima cifra de patrat perfect;
Daca x=4 ⇒24+57=y⁴⇔81=y⁴ ⇒y=3 ⇒convine varianta;
Concluzie x=4 si y=3 .