Question

Sa se determine z,stiind ca:
z^2=1-i/1+i
z^2=-2+4i/2+i
z=z^2
|z|=z+3+i
z^2=|z|
Am nevoie urgenta de rezolvarea lor,va rog,multumesc mult!!

Answer 1

  sa ne amintim 

i²= -1

(a+bi)²=a²+2abi+b²i²= a²+2abi-b²=a²-b²+2abi

si (a-bi) (a+bi)= a²-b²i²=a²+b²

si 

2 numere complexe a+bi=c+di ⇔a=c si c=d

atunci

(a+bi)²=(1-i)(1-i)/(1+i)(1-i) am aplificat cu conjugata numitorului
 a²-b²+2abi=(1-i)²/ (1-i²)= (1-2i-1)/(1+1) =-2i/2

a²-b²+2abi=-i
 egalam partile reala si imaginara

a²-b²=0
2ab=-1
din prima ecuatie,  avem (a-b) (a+b)=0
 adica b=a sau b=-a
 

pt b=-a
2a²=1 ⇒a²=1/2; a=+/-√2/2, b=-/+√2/2

 pt b=a
2a²=-1; a²=-1/2 dar trebuie ca  a ∈R , deci nu convine

deci z= √2/2-i√2/2
si
         z=-√2/2+i√2/2

(sunt bune pt ca radacina patrata din un numar complex are 2 valori,care , daca sunt exprimate trigonomertric, sunt decalate la 180 grade; am verificat cu trigonometria si se verifica argumentele 3π/4 si7π/4 pt radacina patrata a nr complex i, cu argumnentul 3π/2)



z²=z
z²-z=0
z(z-1)=0 cu solutiile z=1 z=0

sau, altfel
(a+bi)(a+bi-1)=0
fie a+bi=0=0+0i deci a=b=0; a+bi=0
 fie (a-1)+bi=0 adica a=1; b=0 deci a+bi=1
deci 2 solutii reale 0 si 1


|z|=z+3+i

√(a²+b²)= a+bi+3+i

a²+b²= [(a+3)+(b+1)i]²
a²+b²=a²+6a+9-(b²+2b+1)+2(a+3)(b+1)i

egalam partile reale si imaginare din stanga si din dreapta
a²+b²=a²+6a+9-(b²+2b+1)
2(a+3)(b+1)=0
 adica
b²=+6a+9-(b²+2b+1)
2(a+3)(b+1)=0

pt c a adoua relatie sa fie adevarata fie b=-1 fie a=-3
pt b=-1 [prima relatie devine;
1=6a+9+0 ⇒6a=-8...a=-4/3    z=-4/3-i

pt a=-3
b²=-18+9-b²-2b-1

2b²+2b+10=0
b²+b+5=0 b∉R

ramane doar   z=-4/3-i

verificare
5/3=-4/3-i+3+i= (9-4)/3=5/3 Adevarat problema e bine rezolvata

z²=|z|

a²-b²+2abi=√(a²+b²)∈R
deci partea iimaginara , 2abi este nula; cum 2 sau i nu sunt 0,

 fie b=0
atunci a²=√a²=|a|  adica
a²=a, a²-a=0; a(a-1)=0 cu 2 solutii  a=0si a =1
sau
a²=-a  a²+a=0...cu 2 solutii a=0 si a=-1
deci am gasit 3 numere realke  incluse in complex. 0,1 si -1

sau a=0
fie  atunci b=√b²=|b|
acre analog, ma duce la 0 1 si -1
adica numerele sunt 0, i si -i
dar acestea nu verifica, pt ca i² si (-i)²=-1 iar |b|=1
prin ridicare la patrat am introdus soltii in plus, de acea a trebuit sa leverificam

z²=|z| are 3 solutii , toate reale : 0; 1; -1;



z²=(-2+4i)/2+i)amplificam fractia cu conjugata numitorului, si anume (2-i)

a²-b²+2abi=(-2+4i)(2-i)/(2²-i²)

a²-b²+2abi=[(-4-4i²) +8i+2i]/(4+1)
 cum 4i²=4*(-1)=-4, avem
-4+4=0
deci

a²-b²+2abi=10i/5
a²-b²+2abi=2i

agaland partile reala si imaginara
a²-b²=0
ab=1

din prima ecuatie b=a sau b=-a
pt b=a
 a²=1 a=1, sau a =-1
a=1⇒b=1
a=-1⇒b=-1

pt b=-a

-a²=1 a∉R
 
raman deci z=1+i si z=-1-i
care verifica