Question

Să se găsească cel mai mic număr natural din care, la împărțirile cu 5 și cu 7, se obțin
câturi nenule și același rest 1.
DAU COROANA! URGENT!​

Answer 1

Răspuns:

n:5=c₁ rest 1    T.I.R. ⇒ n=5·c₁+1   n-1=5·c₁ ⇒ 5|(n-1)  

n:7=c₂ rest 1    T.I.R. ⇒ n=7·c₂+1   n-1=7·c₂ ⇒ 7|(n-1)   ⇒

[5, 7] | (n-1) ⇒ (n-1)∈M₃₅ ⇒ n-1=35   n=36

Proba:

36:5=7 rest 1

36:7=5 rest 1

Explicație pas cu pas:

n:5=c₁ rest 1    aceasta este forma generala a impartirii cu rest.

T.I.R.: Teorema impartirii cu rest: deimpartitul este egal cu impartitorul inmultit cu catul plus restul, deci n=5·c₁+1. Asta se mai poate scrie n-1=5·c₁. De aici rezulta ca 5 divide pe n-1 (5|(n-1) )

La fel procedam si cu n:7=c₂ rest 1 si aflam ca si 7 divide pe n-1 (7|(n-1) )

Stim ca, daca doua numere diferite divid acelasi numar, in cazul nostru 5 si 7 divid pe n-1, atunci si cel mai mic multiplu comun al acestora divid acel numar, adica [5, 7] | (n-1). Cel mai mic multiplu comun al numerelor 5 si 7 este 35; asta inseamna ca (n-1) apartine multimii multiplilor lui 35 ( (n-1)∈M₃₅). Problema cere sa gasim cel mai mic numar, deci n-1=35 si atunci n=36.