Question

Sa se rezolve ecuatia C de n luate cate 8 = C de n luate cate 10 , n ∈ N , n ≥ 10.

Answer 1

Formula generala pentru combinari de n luate cate k este
$C_{n}^{k}=\frac{n!}{n!*(n-k)!}$ unde ! inseamna factorial
$n!=1*2*3*..*n$
Si mai stim ca daca avem foua produse factoriale impartite, va ramane produsul intre numerele din diferenta dintre ei
$\frac{(m+k)!}{m!}=\frac{1*2*3*..*m*(m+1)*...*(m+k)}{1*2*3*..*m}=(m+1)*(m+2)*..*(m+k)$
Acum avem totul si putem face calculul
$C_{n}^{8}=\frac{n!}{(n-8)!*8!}=C_{n}^{10}=\frac{n!}{(n-10)!*10!}\Rightarrow (n-8)!*8!=(n-6)!*6!\Rightarrow \frac{(n-6)!}{(n-8)!}=\frac{8!}{6!}\Rightarrow (n-6)(n-7)=7*8\Rightarrow n^{2}-6n-7n+42=56\Rightarrow n^{2}-13n-14=0\Rightarrow n^{2}-14n+n-14=n(n-14)+n-14=(n-14)(n+1)=0$
n=-1 nu poate fi solutie, pentru ca n trebuie sa fie mai mare decat 10
Atunci ramane solutia n=14

Answer 2

Ecuatia prezinta doua situatii, dar solutia e unica, n=18.