Sa se rezolve ecuatia: sin⁶2x+cos⁶2x=7/16
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
1
Observam ca ecuatia foarte seamana cu identitatea fundamentala trigonometrica:
sin²x+cos²x=1 (x-ul de aici nu are nimic de a face cu problema)
Insa avem doar la puterea a doua, de aceea propun sa ridicam ambele parti la cub si sa speram ca obtinem ceva :).
(sin²x+cos²x)³=1
Amintim : (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
sin⁶x+3sin⁴x*cos²x+3sin²x*cos⁴x+cos⁶x=1
De unde avem formula :
sin⁶x+cos⁶x=1-3sin⁴x*cos²x-3sin²x*cos⁴x
Astfel daca in egalitatea noastra facem o substitutie, u=2x si tinem cont de formula obtinuta :
sin⁶u+cos⁶u=7/16, din formula:
1-3sin⁴u*cos²u-3sin²u*cos⁴u=7/16
Trecem 3sin⁴u*cos²u si 3sin²u*cos⁴u in partea dreapta si 7/16 in stanga
1-7/16=3sin⁴u*cos²u+3sin²u*cos⁴u
In stanga pe 1 il vedem ca 16/16 si calculam, in dreapta scoatem factorul comun 3sin²u*cos²u si obtinem:
9/16=3sin²u*cos²u*(sin²u+cos²u)
In paranteza obtinem indentitatea trigonometrica, care este egala cu 1 :
9/16=3sin²u*cos²u
Impartim ambele parti la 3 :
3/16=sin²u*cos²u
Pe sin²u*cos²u il vedem ca [sin(u)*cos(u)]^2 :
3/16=[sin(u)*cos(u)]^2
Scoatem radacina patrata in ambele parti:
√3/4=sin(u)*cos(u)
Amintim ca sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), de unde sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2, deci obtinem :
√3/4=sin(2u)/2
Inmultim ambele pari la 2 si obtinem:
√3/2=sin(2u)
Deja daca notam cu t=2u (t=4x), obtinem:
√3/2=sin(t)
De unde observam usor (macar si cu tabelu) ca:
1)t=π/3+2πn, n∈Z
2)t=2π/3+2πn, n∈Z
Ne intoarcem la substitutie :
t=4x, de unde:
1)x=π/12+πn/2, n∈Z
2)x=π/6+πn/2, n∈Z
sin²x+cos²x=1 (x-ul de aici nu are nimic de a face cu problema)
Insa avem doar la puterea a doua, de aceea propun sa ridicam ambele parti la cub si sa speram ca obtinem ceva :).
(sin²x+cos²x)³=1
Amintim : (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
sin⁶x+3sin⁴x*cos²x+3sin²x*cos⁴x+cos⁶x=1
De unde avem formula :
sin⁶x+cos⁶x=1-3sin⁴x*cos²x-3sin²x*cos⁴x
Astfel daca in egalitatea noastra facem o substitutie, u=2x si tinem cont de formula obtinuta :
sin⁶u+cos⁶u=7/16, din formula:
1-3sin⁴u*cos²u-3sin²u*cos⁴u=7/16
Trecem 3sin⁴u*cos²u si 3sin²u*cos⁴u in partea dreapta si 7/16 in stanga
1-7/16=3sin⁴u*cos²u+3sin²u*cos⁴u
In stanga pe 1 il vedem ca 16/16 si calculam, in dreapta scoatem factorul comun 3sin²u*cos²u si obtinem:
9/16=3sin²u*cos²u*(sin²u+cos²u)
In paranteza obtinem indentitatea trigonometrica, care este egala cu 1 :
9/16=3sin²u*cos²u
Impartim ambele parti la 3 :
3/16=sin²u*cos²u
Pe sin²u*cos²u il vedem ca [sin(u)*cos(u)]^2 :
3/16=[sin(u)*cos(u)]^2
Scoatem radacina patrata in ambele parti:
√3/4=sin(u)*cos(u)
Amintim ca sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), de unde sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2, deci obtinem :
√3/4=sin(2u)/2
Inmultim ambele pari la 2 si obtinem:
√3/2=sin(2u)
Deja daca notam cu t=2u (t=4x), obtinem:
√3/2=sin(t)
De unde observam usor (macar si cu tabelu) ca:
1)t=π/3+2πn, n∈Z
2)t=2π/3+2πn, n∈Z
Ne intoarcem la substitutie :
t=4x, de unde:
1)x=π/12+πn/2, n∈Z
2)x=π/6+πn/2, n∈Z
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Limba română,
8 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Istorie,
9 ani în urmă