Question

Sa se rezolve ecuatia: sin⁶2x+cos⁶2x=7/16

Answer 1

Observam ca ecuatia foarte seamana cu identitatea fundamentala trigonometrica:

sin²x+cos²x=1 (x-ul de aici nu are nimic de a face cu problema)

Insa avem doar la puterea a doua, de aceea propun sa ridicam ambele parti la cub si sa speram ca obtinem ceva :).

(sin²x+cos²x)³=1

Amintim : (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

sin⁶x+3sin⁴x*cos²x+3sin²x*cos⁴x+cos⁶x=1

De unde avem formula : 

sin⁶x+cos⁶x=1-3sin⁴x*cos²x-3sin²x*cos⁴x

Astfel daca in egalitatea noastra facem o substitutie, u=2x si tinem cont de formula obtinuta :

sin⁶u+cos⁶u=7/16, din formula:

1-3sin⁴u*cos²u-3sin²u*cos⁴u=7/16

Trecem 3sin⁴u*cos²u si 3sin²u*cos⁴u in partea dreapta si 7/16 in stanga

1-7/16=3sin⁴u*cos²u+3sin²u*cos⁴u

In stanga pe 1 il vedem ca 16/16 si calculam, in dreapta scoatem factorul comun 3sin²u*cos²u si obtinem:

9/16=3sin²u*cos²u*(sin²u+cos²u)

In paranteza obtinem indentitatea trigonometrica, care este egala cu 1 :

9/16=3sin²u*cos²u

Impartim ambele parti la 3 :

3/16=sin²u*cos²u

Pe sin²u*cos²u il vedem ca [sin(u)*cos(u)]^2 : 

3/16=[sin(u)*cos(u)]^2 

Scoatem radacina patrata in ambele parti:

√3/4=sin(u)*cos(u)

Amintim ca sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), de unde sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2, deci obtinem : 

√3/4=sin(2u)/2

Inmultim ambele pari la 2 si obtinem:

√3/2=sin(2u)

Deja daca notam cu t=2u (t=4x), obtinem:

√3/2=sin(t)

De unde observam usor (macar si cu tabelu) ca:

1)t=π/3+2πn, n∈Z 
2)t=2π/3+2πn, n∈Z

Ne intoarcem la substitutie :

t=4x, de unde:

1)x=π/12+πn/2, n∈Z 
2)x=π/6+πn/2, n∈Z