Sa se rezolve ecuatia
(x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a)=b^4,unde a si b sunt numere reale
albatran:
pt iar am gresit pt b^4 apartine lui [0, f(x'2)), 4 radacini distincte
mai incolo pt b^4=f(x'2), 3 radacini distincte
iar pt b^4 >f(x'2), 2 radacini disincte una < x1 si alta >x4
prin x1, x2, x3 , x4 am notat -4a, -3a, -2a, -a sau respectiv -a, -2a,-3a,-4a
cam asta e tot ce pot spune despre ec asta de gradul 4; nu e in regula ca poate avae si 3 radacini realkae, ea nu poate avea decat 2 sau 4...sa vad unde am gresit ceva
ba e in regula, pt ca aia e atreia 'e " doua confundate
dar tot nu stiu care sunt radacinile...sper ca tema sa fi fost o discutie cum am facut, nu rezolvarea propriu zisa...nu vreau sa iti pun graficul aproximativ , ca sa nu ocup boxa de rezolvare..poiarte e altui care ezolva mai bine /mai mult decat mine
daca nu caperi alt raspuns mai bun, peste o zi doua iti atasez graficul..dar poti sa iti faci si tu tabelul de variatie cu 4 f.ctii de gradul intai si produsul lor...si vezi semnul functiei si 'zero"-urile
siam facut discutia aproximativa pt a >0 sio a<0; pt a=0, eccuatia se reduce la x^4=b^4 , cu 4 radacini confundate si egale cu | b |
multumesc
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
1
(x^2+2ax+ax+3a^2)(x^2+ 4ax+3ax+12a^2)=b^4
x^4+4ax^3+3ax^3+12a^2 x^2 +2ax^3+8a^2 x^2+6a^2 x^2+24a^3 x+ax^3+ 4a^2 x^2+3a^2 x^2+ 12a^3x+3a^2x^2+12a^3x+9a^3x+36a^4=b^4
x^4+10ax^3+36a^2x^2+57a^3x+36a^4=b^4
x^4+4ax^3+3ax^3+12a^2 x^2 +2ax^3+8a^2 x^2+6a^2 x^2+24a^3 x+ax^3+ 4a^2 x^2+3a^2 x^2+ 12a^3x+3a^2x^2+12a^3x+9a^3x+36a^4=b^4
x^4+10ax^3+36a^2x^2+57a^3x+36a^4=b^4
bun s, mersi ca ai lasat boxa de rezolvari libera; arezolva inseamna a gasi soltiile..cine o rezolva pe asta?
Răspuns de
2
Fie f(x)=(x+a)(x+2a)(x+3a) (x+4a)
pt a=0, vom avea patru radacini egale cu √√b^4=√|b|²=|b|
pt a≠0,
I .
fie a>0
aceasta va avea 4 radacini in ordinea crescatoare -4a,3a, --2a,-a, notate pt comoditate cu x1,x2,x3,x4 , in ordine crescatoare
intre aceste radacini , functia va schimba semnul, cf. tabelului de variatie din tabel si din graficul anexat
intre cele 4 radacini ale functiei vor exista 3 radacini ale derivatei (o ecuatie de ordin 3), cf teormei lui lui Rolle, adica va prezenta 2 minime locale si un maximim locale
el vor fi situate in tervalele (-4a,-3a), (-3a,-2a)si, respectiv, (-2a, -a)
vom nota aceste radacini cu x'1 , x'2, x'3
ecuatia f(x)=b^4
radacinile acestei ecuatii pot fi APROXIMATE grafic prin intersectia intre graficul functiei f(x) si dreapta y=b^4
vom nota aceste puncte de intersectie cu y1,y2,y3,y4, care sunt radacinile ecuatiei date
cum b^4≥0 avem cazurile
pt b=0, y1=y2=y3 =y4=0
pt b≠0,
avem
daca b^4 ∈intervalului(0,f(x'2) ), avem 4 radacini si anume
y1<∈(-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y2∈ (x2, x'2), adica (-3a, x'2)
y3∈(x'2, x3) adica (x'2, -2a)
y4∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
pt b^4=f(x'2)
vom avea 3 radacini (dinte care 2 confundate, adica una dubla)
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y2=y3=f(x'2)
y4∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
pentru b^4>f(x'2)
avem 2 radacini
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
si y2∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
ca sa aflam x'1.x'2,x'3 ar trebui sa rezolvam ecuatia f'(x)=0, o ecuatie de grad 3
in unele cazuri concrete particulare, se poate rezolva
II.
pt a<0, problema este analoga, adica vom avea tot 4,3(una dubla) sau 2 radacini doar ca radacinile x1,x2, x3, si x4 for fi in ordine -a,-2a,-3a si , respectiv -4a si se vor afla in dreapta axei Oy iar x2' va apartine tot (x2,x3) dar acesta va fi de forma (-2a, -3a)
rexolvare exacta pt. x1, x2,x3, x4 nu am ci doar aceasta, aproximativa
pt a=0, vom avea patru radacini egale cu √√b^4=√|b|²=|b|
pt a≠0,
I .
fie a>0
aceasta va avea 4 radacini in ordinea crescatoare -4a,3a, --2a,-a, notate pt comoditate cu x1,x2,x3,x4 , in ordine crescatoare
intre aceste radacini , functia va schimba semnul, cf. tabelului de variatie din tabel si din graficul anexat
intre cele 4 radacini ale functiei vor exista 3 radacini ale derivatei (o ecuatie de ordin 3), cf teormei lui lui Rolle, adica va prezenta 2 minime locale si un maximim locale
el vor fi situate in tervalele (-4a,-3a), (-3a,-2a)si, respectiv, (-2a, -a)
vom nota aceste radacini cu x'1 , x'2, x'3
ecuatia f(x)=b^4
radacinile acestei ecuatii pot fi APROXIMATE grafic prin intersectia intre graficul functiei f(x) si dreapta y=b^4
vom nota aceste puncte de intersectie cu y1,y2,y3,y4, care sunt radacinile ecuatiei date
cum b^4≥0 avem cazurile
pt b=0, y1=y2=y3 =y4=0
pt b≠0,
avem
daca b^4 ∈intervalului(0,f(x'2) ), avem 4 radacini si anume
y1<∈(-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y2∈ (x2, x'2), adica (-3a, x'2)
y3∈(x'2, x3) adica (x'2, -2a)
y4∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
pt b^4=f(x'2)
vom avea 3 radacini (dinte care 2 confundate, adica una dubla)
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
y2=y3=f(x'2)
y4∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
pentru b^4>f(x'2)
avem 2 radacini
y1∈intervalului (-∞, x1) adica (-∞, -4a)
si y2∈(x4,∞) adica (-a, ∞)
ca sa aflam x'1.x'2,x'3 ar trebui sa rezolvam ecuatia f'(x)=0, o ecuatie de grad 3
in unele cazuri concrete particulare, se poate rezolva
II.
pt a<0, problema este analoga, adica vom avea tot 4,3(una dubla) sau 2 radacini doar ca radacinile x1,x2, x3, si x4 for fi in ordine -a,-2a,-3a si , respectiv -4a si se vor afla in dreapta axei Oy iar x2' va apartine tot (x2,x3) dar acesta va fi de forma (-2a, -3a)
rexolvare exacta pt. x1, x2,x3, x4 nu am ci doar aceasta, aproximativa
Anexe:
multumesc
npc...e foarte grea...pt o anumita rigoare, intre 2 radacini ale functieii, exista CEL PUTIN o radacina a derivatei, asa zice Teorema lui Rolle (cosecinta a teo lui Lagrange daca imi aduc aminte bine)...dar cum am 4 radacini ale functiei , deci trei intervale intre ele, inseamna ca eista EXACT 3 radacini
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Limba română,
8 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Latina,
9 ani în urmă
Fizică,
9 ani în urmă
Engleza,
9 ani în urmă