Question

Sa se rezolve ecuatiile:
a) (x²+x+1)(x²+x+2)=12
b) x²-4x+ $\frac{10}{ x^{2} -4x+5}$ =2

Answer 1

a) fie x²+x+1=y ∈[3/4;∞)
 pt ca acesta este domeniul valorilor functieide grad 2, x²+x+1

y(y+1)=12
y²+y-12=0
y1=-4∉[3/4;∞)
y2=3∈[3/4;∞)

deci x²+x+1=3
 x²+x-2=0
x1=-2
x2=1


b) conditiide existenta x²-4x+5=x²-4x=4+1=(x-2)²+1≥1>0 deci x∈R

fie x²-4x=y∈[-4;∞)
pt ca acesta este codomeniul functiei de gradc 2,  x²-4x

 y+10/(y+5)=2

y²+5y+10=2y+10
y²+5y=2y
y²+3y=0
y1=-3∈domeniului
y2=0 ∈apartine domeniului

deci x²-4x=-3
x²-4x+3=0
x1,2= (4+-√(16-12))/2
x1=1
x2=3


si x²-4x=0
x(x-4)=0
x3=0
x4=4

Answer 2

a) (x²+x+1)(x²+x+2)=12 ⇔ (x²+x+1)(x²+x+1+1)=12     (*)

Notez t = x²+x+1 = x²+x+1/4+3/4 = (x+1/2)² + 3/4 > 0

Ecuația (*) devine:

t(t+1) =12 ⇔ t² + t - 12 = 0

Soluțiile acestei ultime ecuații sunt:

t₁ = -4 < 0  nu convine

t₂ = 3

Revin asupra notației și rezultă:

x²+x+1 = 3 ⇔ x² +x - 2 = 0

Soluțiile sunt:

x₁ = -2,   x₂ = 1

b) Notez  t = x² - 4x +5 = x² - 4x +4+1 = (x - 2)² +1 > 0

Așadar,  x² - 4x +5  = t ⇒  x² - 4x = t - 5,    (t > 0).

Ecuația devine:

t - 5 +10/t = 2 ⇔ t² - 5t +10 = 2t ⇔ t² - 7t +10 = 0

Obțin : 

t₁ = 2,   t₂ = 5

Ambele soluții sunt convenabile, deoarece sunt pozitive  (t > 0).

Revenind asupra notației, obțin, pe rând :

I) x² - 4x +3 = 0 cu soluțiile x₁ = 1,  x₂ = 3.

II) x² - 4x  = 0 cu soluțiile x₁ = 0,  x₂ = 4.

Reordonez și obțin, pentru ecuația inițială,   patru soluții:

x₁=0,  x₂= 1,  x₃ = 3,  x₄ = 4