Question

sa se rezolve in multimea numerelor naturale reale ecuatia √2-x +√x+7=3

Answer 1

C.E;  x∈(-∞;2] ∩[-7;∞) =[-7;2]

√2-x descrescatoare pe (-∞;2] de la∞ la 0
√(x+7) crescatoare pe[-7;∞) de la 0 la∞

0, 1 sau 2 solutii   in intervalul [-7;2]
cum numere naturale aici sunt numai ;1;2 nu ne mai pierdem timpul ridicand la patrat (si incade 2 ori) ci verificam..
pt x=0 nu verifica
pt x=1 nici
 pt x=2 da ,
√0+√9=3 adevarat
deci solutie unica x=2

Obs ; ca solutii intregi mai admitea si pe x=-7
√9+√0=3

Answer 2

$\sqrt{2-x}+ \sqrt{x+7 } =3 \\ \\ Notam: \sqrt{2-x} = a; \quad \sqrt{x+7} = b \\ \\ \Big\{a+b =3 \quad si \quad a^2+b^2 = 2-x-x+7 \Big\} \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \Big\{a+b =3 \quad si \quad a^2+b^2=9\Big\} \\ \\ (a+b)^2 =a^2+b^2+2ab \Rightarrow 3^2 = 9+2ab \Rightarrow 9 = 9 +2ab \Rightarrow \\ \Rightarrow 2ab = 0 \Rightarrow ab = 0 \\ \\ Avem: \quad \Big\{a+b = 3 \quad si \quad ab = 0 \Big\}$

$\ Consideram: t^2-St+P = 0 \Rightarrow t^2-(a+b)t + ab = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow t^2-3t+ 0 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t = 0 \Rightarrow t(t-3) = 0 \Rightarrow t_1 = 0, \quad t_2 = 3 \\ \\ \boxed{1} \quad \Big\{a = 0\quad si \quad b = 3\Big\} \Rightarrow \Big\{\sqrt{2-x} = 0 \quad si \quad \sqrt{x+7} = 3\Big\}\Rightarrow \\ \Rightarrow \Big\{2-x = 0 \quad si \quad x+7 = 9\Big\} \Rightarrow \Big\{x=2 \quad si \quad x = 2\Big\} \Rightarrow \boxed{x = 2}$

$\boxed{2} \quad \Big\{a = 3 \quad si \quad b = 0\Big\} \Rightarrow \Big\{\sqrt{2-x} = 3 \quad si \quad \sqrt{x+7} = 0\Big\}\Rightarrow \\ \Rightarrow \Big\{2-x = 9 \quad si \quad x+7 = 0\Big\} \Rightarrow \Big\{x=-7 \quad si \quad x = -7\Big\} \Rightarrow \boxed{x=-7} \\ \\ \\ Din \boxed{1} \cup \boxed{2} \Rightarrow x \in \Big\{-7,2\Big\}, \\ Dar, x trebuie sa apartina numerelor naturale \Rightarrow \boxed{S = \big\{2\big\}}$