Question

Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\sqrt[3]{1-x} = 1+x$

Answer 1

$\sqrt[3]{1-x} = 1+x \\ \\ Notam: \sqrt[3]{1-x} = t \Rightarrow 1-x = t^3 \Rightarrow -x = t^3-1 \Rightarrow x = 1-t^3 \\ \\ Inlocuim in ecuatie: \\ \\t = 1+1-t^3 \Rightarrow t = 2 - t^3 \Rightarrow t^3+t -2 = 0 \Rightarrow t^3-t+2t-2 = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow t(t^2-1)+2(t-1) = 0 \Rightarrow t(t-1)(t+1) +2 (t-1) = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (t-1)\Big[t(t-1)+2\Big] = 0 \Rightarrow (t-1)(t^2-t+2) = 0 \\ \\ \boxed{1} \quad t-1 = 0 \Rightarrow t = 1, \quad x = 1-t^3 \Rightarrow x = 1-1^3 \Rightarrow \boxed{x = 0}$

$\boxed{2} \quad t^2-t+2 = 0\\ \Delta = (-1)^2-4\cdot 1\cdot 2 = 1-8 =-7 \ \textless \ 0 \Rightarrow t\notin \mathbb_{R} \Rightarrow x\notin \mathbb{R} \\ \\ Din \boxed{1} \cup \boxed{2} \Rightarrow x=0 \Rightarrow \boxed{S= \Big\{0\Big\}}$