Question

Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația x*x*x*x=x
Legea de compoziție este x*y=xy-6x-6y+42

Answer 1

$x*y=xy-6x-6y+42=x(y-6)-6(y-6)+6=(x-6)(y-6)+6\\x*x=(x-6)^2+6\\x*x*x=(x-6)^3+ 6~~ (\text{se demonstreaza relativ simplu})\\\text{Printr-un rationam.ent inductiv deducem:}\\x*x*x*x=(x-6)^4 +6\\\text{Ecuatia devine :}\\(x-6)^4+6=x\\(x-6)^4-(x-6)=0\\(x-6)[(x-6)^3-1)]=0$

$\text{Distingem doua cazuri:}\\i)x-6=0\Rightarrow x=6\\ii)(x-6)^3-1=0\\(x-6-1)[(x-6)^2 +(x-6) + 1]=0\\(x-7)(x^2-12x+36+x-6+1)=0\\(x-7)(x^2-11x+31)=0\\\text{Si de aici se disting doua cazuri:}\\ 1) x-7=0\Rightarrow x=7\\2)x^2-11x+31=0\\\Delta= 121-124=-3<0,\text{ deci nu admite solutii reale.}\\S:x\in \{6,7\}$