Question

sa se rezolve in multimea R a)
x(x^2-3x+2)>=0
b)(x-1)(x^2-9)<=0
​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Exista metoda intervalelor  de rezolvare a inecuatiilor de forma

(x-x1)(x-x2)...(x-xn)>0 (sau <0), unde x1,x2,...,xn sunt zerouri.

Aceste zerouri impart axa numerica in (n+1) intervale. Trebuia numai sa fim atenti de a ordona crescator zerourile pe axa.

Pasul urmator este de a afla semnul expresiei la intervalul din dreapta (sau stanga). Semnele se vor interschimba de la interval la interval.

Scoatem concluzia in care intervale avem semnul inecuatiei date.

a) x²-3x+2=x²-2x+1-x+1=(x-1)²-(x-1)=(x-1)(x-1-1)=(x-1)(x-2)

Rescriem inecuatia, (x-0)(x-1)(x-2)≥0.

Deci, 0,1,2 sunt zerouri care impart axa numerica in 4 intervale:

(-∞;0), (0;1), (1;2), (2;+∞).

Aflam semnul in ultimul interval, pentru x=3∈(2;+∞), avem

(3-0)(3-1)(3-2)=3·2·1>0, deci pentru x∈(2;+∞), (x-0)(x-1)(x-2)>0,

iar pentru x∈(1;2), vom avea (x-0)(x-1)(x-2)<0 (poti incerca cu x=1,5 )

iar pentru x∈(0;1), vom avea (x-0)(x-1)(x-2)>0

iar pentru x∈(-∞;0), vom avea (x-0)(x-1)(x-2)<0

Comcluzie. Pentru x∈(0;1)∪(2;+∞), vom avea (x-0)(x-1)(x-2)>0

Egalitatea cu 0, va avea loc pentru x∈{0,1,2}

Deci raspunsul va fi  x∈[0;1]∪[2;+∞)

b) (x-1)(x²-9)≤0, deoarece x²-9=x²-3²=(x-3)(x+3)

Deci zerourile sunt x∈{-3,1,3}

Atunci obtinem inecuatia (x+3)(x-1)(x-3)≤0

Cel mai din dreapta interval este x∈(3;+∞) si pentru x=4, obtinem

(4+3)(4-1)(4-3)=7·3·1>0, deci intervalul acesta nu este de solutii

Sper sa poti continua rezolvarea dupa modelul de mai sus si sa scoti conluzia, x∈(-∞;-3]∪[1;3]