Question

Sa se rezolve in N ecuatia x+4/5 + x+5/6 + x+6/7+........+x+99/100=96.
Se dau ecuatiile x patrat+4x+a=0 si 2x+4=0, a apartine de R. Determinati valoarea numarului a stiind ca cele doua ecuatii sunt echivalente.

Answer 1

1.
Sa se rezolve in N ecuatia $\frac{x+4}{5} + \frac{x+5}{6}+ \frac{x+6}{7} +..... \frac{x+99}{100}$ = 96

Observam ca daca x este numar natural, si rezultatul este de asemenea un numar natural, atunci fractiile trebuie sa fie fiecare numere naturale, si asta se intampla cand x are valoarea 1.

Adica
$\frac{1+4}{5} +\frac{1+5}{6} + \frac{1+6}{7} +...+ \frac{1+99}{100}= \frac{5}{5} + \frac{6}{6} + \frac{7}{7}+...+ \frac{100}{100}= \\ 1+1+1+....+1(de\ 96\ ori\ 1)=96*1=96$
Deci x=1

2.
Daca avem ecuatiile:
$x^2+4x+a=0 \\ si \\ 2x+4=0$
Si stim ca acceste ecuatii sunt echivalente, inseamna ca valoarea lui x din a doua ecuatie verifica si prima ecuatie. Observam ca din a doua ecuatie se deduce ca 
$2x+4=0 \\ 2x=-4 \\ x=-2$
Iar aceasta valoare trebuie sa fie solutie si pentru prima ecuatie, adica:
$(-2)^2+4*(-2)+a=0 \\ 4-8+a=0 \\ a=4$