Question

Sa se rezolve in numere intregi: 4xy-3y^2=20 .

Multumesc

Answer 1

Răspuns:

(x;y) ∈{(4;2) ;(8;10); (-4;-2); (-8;-10)}

Explicație pas cu pas:

y(4x-3y)=20=1*20=2*10=4*5=5*4=10*2=20*1=..aceleasi, cu minus

y=1...4x-3=20..4x=23 nu convine

y=2...4x-6=10...4x=16... x=4 SOLUTIE

y=4...4x-12=5...4x=17...nu convine

y=5...4x-15=4...4x=19 nu convine..

y=10...4x-30=2....4x=32...x=8 SOLUTIE

y=20...4x-60=1...4x=61 nu convine...

y=-1   4x+3=-20 nu convine

y=-2  4x+6=-10 4x=-16  x=-4 SOLUTIE

y=-4...4x+12=-5  nu convine

y=-5  4x+15=-4 nu convine

y=-10  4x+30=-2  4x=-32  x=-8 SOLUTIE

y=-20  4x+60=-1 nu convine

(x;y) ∈{(4;2); (8;10); (-4;-2); (-8;-10)}

Answer 2

$\it x,\ y\in\mathbb{Z},\ \ \ 4xy-3y^2=20\ \ \ \ (*)$

$\it 4xy-3y^2=20 \Rightarrow -3y^2=20-4xy \Rightarrow -3y^2=4(5-xy)\ \ \ \ (1)$

Deoarece membrul drept al egalității (1) este număr întreg par, va rezulta că și membrul stâng este par. Deci y² = par ⇒ y = par      (2)

$\it 4xy-3y^2=20 \Rightarrow y(4x-3y) =20 \Rightarrow y|20\ \ \ \ (3)\\ \\ (2),(3) \Rightarrow y\in\{\pm2,\ \ \pm10\}$

Înlocuind succesiv cele 4 valori ale lui y în ecuația inițială (*), se vor obține 4 valori corespunzătoare pentru x.

$\it y=2\ \stackrel{(*)}{\Longrightarrow}\ 4x\cdot2-3\cdot2^2=20 \Rightarrow 8x-12=20|_{+12}\Rightarrow 8x=32 \Rightarrow x=4$

Am găsit perechea (4,  2), una din cele 4 soluții întregi ale ecuației date.

(procedeul trebuie continuat)