Question

Sã se rezolve în R ecuația $x^{3} + 2x^{2} +ax +b = 0$ știind cã a, b ∈ Q și cã admite soluția $x_{1 } = 1 + \sqrt{2}$ .

Answer 1

$x^3+2x^2+ax+b = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

$x^3+2x^2+ax+b = 0 \\ \\ x_1 = 1+\sqrt 2 \Rightarrow x_2 = 1-\sqrt 2 \\ \\\\ \Big(x-(1+\sqrt 2)\Big)\Big(x-(1-\sqrt 2)\Big)(x-m) = x^3+2x^2+ax+b\\ \\(x-1-\sqrt 2)(x-1+\sqrt 2)(x-m) = x^3+2x^2+ax+b \\ \\\Big[(x-1)^2-2\Big](x-m) = x^3+2x^2+ax+b \\\\(x^2-2x-1)(x-m) = x^3+2x^2+ax+b\\\\x^3-2x^2-x-mx^2+2mx+m = x^3+2x^2+ax+b \\ \\ x^3+(-2-m)x^2+(-1+2m)x+m = x^3+2x^2+ax+b\\ \\ -2-m = 2 \Rightarrow m = -4\\m = b \Rightarrow b = -4\\ -1+2m = a \Rightarrow a = -9$

$\Rightarrow x_1 = 1+\sqrt 2,~~x_2 = 1-\sqrt 2,~~x_3 = -4,\quad a = -9,~~b = -4$