Question

Sa se rezolve in R ecuatiile:
a) $\sqrt{2x+1}=\sqrt{4x^{2} -2x-2}$

b) $\sqrt{x^{2}-x-6 } +\sqrt{x-3}=0$

Answer 1

a)

$\sqrt{2x + 1} = \sqrt{4 x {}^{2} - 2x - 2 }$

Condițiile de existență

2x+1>=0

2x>=-1

x>= -1/2

4x²-2x-2>=0 |:2

2x²-x-1>=0

...... delta....

x1=1/2

x2=1

....tabel de semne ....

între rădăcini vom avea semn contrar lui a, adică minus , deci nu luăm valorile dintre rădăcini

x aparține (-infinit;-1/2]U[1;+infinit)

→(intersecție)x aparține [1;+infinit) U {-1/2}

Ridicam totul la puterea a doua

$\sqrt{(2x + 1) {}^{2} } = \sqrt{(4x {}^{2} - 2x - 2) {}^{2} } \\ \\ 2x + 1 = 4x {}^{2} - 2x - 2 \\ 4x {}^{2} - 2x - 2 - 2x - 1 = 0 \\ 4x {}^{2} - 4x - 3 = 0$

{a=4

{b=-4

{c=-3

∆=b²-4ac= (-4)²-4•4•(-3)=16+48=64=8²

x1,2=-b+-✓∆ /2a

x1= 4+8/2•4 = 12/8= 3/2 aprtine [1;+infinit) U{-1/2}

x2= 4-8/2•4 = -4/8 = -1/2 aprtine [1;+infinit) U{-1/2}

S={ -1/2 ; 3/2 }

_________________________

b)

Condițiile de existenț

x-3>=0 →x>=3

x²-x-6>=0

....delta...

x1=-2

x2=3

→x aparține (-infinit;-2]U[3;+infinit)

→Reuniune→x aparține [3;+infinit)

✓x²-x-6 +✓x-3=0

✓x²-x-6= - ✓x-3 |²

✓(x²-x-6)² =( - ✓x-3)²

x²-x-6= x-3

x²-x-x-6+3=0

x²-2x-3=0

x²-x+3-3=0

x(x-1)+3(x-1)=0

(x-1)(x-3)=0

x-1=0→x=1 NU aparține [3;+infinit)

x-3=0→x=3 aparține [3;+infinit)

Din conditia de existenta

→S={3}