Question

Sa se rezolve in R ecuatiile
a) $\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$=1
b) $\sqrt{x^{2}+2x-3 } =2\sqrt{3}$

Answer 1

b)

$\sqrt{x {}^{2} + 2x - 3 } = 2 \sqrt{3} | {}^{2} \\ \\ x {}^{2} + 2x - 3 = 2 {}^{2} \times 3 \\ x {}^{2} + 2x - 3 = 4 \times 3 \\ x {}^{2} + 2x - 3 - 12 = 0 \\ {x}^{2} + 2x - 15 = 0$

{a=1

{b=2

{c=-15

∆=b²-4ac

∆=2²-4•1•(-15)=4+60=64=8²

x1,2= -b +-✓∆ /2a

x1= -2+8/2•1 = 6/2 = 3

x2= -2-8/2 = -10/2= -5

Condiția de existență a radicalului

x²+2x-3>=0

x aparține(-infinit;-3]U [1; + infinit)

deci ambele soluții sunt bune

S={-5;3}

___________________________

a)

$\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 - x} = 1$

Condițiile de existență

x-1>=0 →x>=1

2-x>0→-x>=-2|•(-1) →x<=2

→ x aparține [1;2]

Ridicam totul la puterea a doua

$(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 - x} ){}^{2} = 1 {}^{2} \\ x - 1 + 2 \sqrt{(x - 1)(2 - x)} + 2 - x = 1 \\ \\ 1 + \sqrt{(x - 1)(x - 2)} = 1 \: \: | - 1 \\ 2 \sqrt{(x - 1)(x - 2)} = 0 \: \: | \div 2 \\ \sqrt{(x - 2)(2 - x)} = 0 \: \: | {}^{2} \\ (x - 1)(2 - x) = 0$

x-1=0 →x=1 aparține [1;2]

2-x=0→x=2 aparține [1;2]

S={1;2}