Question

Să se rezolve în ℝ:

$\it \begin{cases}\it x^2+y^2=8\\ \\ \it \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1 \end{cases}$

Answer 1

Răspuns

(x;y)∈{(-1-√3;-1+√3);(-1+√3;-1-√3);(2;2)}

Explicație pas cu pas:

rezolvare in R* de fapt

vom nota x+y=s

si xy=p

atunci x²+y²=(x+y)²-2xy

si

1/x+1/y=((x+y)/xy)

fie x+y=s

xy=p

atunci

s²-2p=8

s/p=1

adica

s²-2p=8

s=p

prin metoda substitutiei

p²-2p=8

p²-2p-8=0

cu Δ, descompunere sau Viete obtinem

p1=s1=-2, p2=s2=4

deci avem ecuatiile

z²-sz+p=0

z²+2z-2=0

x1,2=(-2+-√(4+8))/2=(-2+-2√3)/2=-1+-√3

x1=-1-√3... y1=-2-(-1-√3)=-1+√3

x2=-1+√3...y2=-2-(-1+√3)=-1-√3

z²-4z+4=0

z1=z2=2

x3=2...y3=4-2=2 sau y3=4/2=2

toatecele 3 solutii verifica ambele ecuatii (poti face calculele, eu le-am facut pe ciorna) deci este bine rezolvat; si daca  nu (ai chef sa) le faci, te uiti pe atasament..