Question

sa se rezolve inecuatia

$5x^{2} -20x+26$>4/($x^{2}-4x+5$)

Answer 1

Răspuns:

$x\in\mathbb{R}$

Explicație pas cu pas:

Fie $y=x^2-4x+5$. Deci, se pretinde de a rezolva inecuația

$5y+1>\dfrac{4}{y}$.

Este ușor de observat că $y>0, \quad \forall x\in\mathbb{R}$, pentru că  $\Delta=4^2-4\cdot5<0$ și coeficientul director este pozitiv. De acea a rezolva inecuația de sus este echivalent cu a rezolva inecuația următoare:

$5y^2+y-4>0$

Rezolvând, vom vedea că rădăcinile ecuației $5y^2+y-4=0$ vor fi

$\begin{cases}y_1=\frac{4}{5}\\y_2=-1\end{cases}$. De aici putem scrie:

$5y^2+y-4>0\iff 5\left(y-\frac{4}{5}\right)\left(y+1\right)>0\iff\big(y-\frac{4}{5}>0\quad \wedge\quad y+1>0\big) \quad \vee \quad \big(y-\frac{4}{5}<0\quad \wedge \quad y+1<0\big)\iff y\in\left(\frac{4}{5},+\infty)\cup\left(-\infty,-1\right)=\mathbb{R}\setminus\left[-1,\frac{4}{5}\right]$

Fiindcă sunt puține puncte de oferit pentru așa problemă, lăs pentru autor/cititor ca exercițiu ca să se rezolve inecuația

$x^2-4x+5\in\mathbb{R}\setminus\left[-1,\frac{4}{5}\right].$

Fiind mai concret, trebuie să se arăte că

$\forall x\in\mathbb{R}\qquad x^2-4x+5>\frac{4}{5}.$

Ceia ce termină rezolvarea.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas: