Question

Sa se rezolve limitele:
a) $\lim_{n \to \infty} ( \sqrt{x^2+3x}- \sqrt{x^2-3})$
b) $\lim_{n \to 0} (1+3x)^ \frac{5}{2x}$

Answer 1

a)Consideri expresia de  la  limita ,  ca  fractie  cu  numitorul 1  si  amplifici  cu  conjugata
 x→∞ L=lim (√(x²+3x)-√(x²-3)*(√(x²+3x)+√(x²-3))/(√(x²+3x)+√(x²-3))=lim(x²+3x-x²+3)/(x*√1+3/x)+x*√(1-3/x²))=lim 3(x+1)/x(√(1+3/x)+√(1-3/x²)=3/2
La  numitor vom  avea1+3/x→1  1-3/x²→1  1+1=2

b)Aplicand  direct  limita se  ajunge  la  1∞ . Seridica  expresia  de  la  limita   la  puterea 1/3x si  concomitent  la   3x   pt  ca   rezultatul  sa   nu  se   scimbe .
x→∞  L=lim[(1+3x)^1/3x]^(3x·5/2x]=e^15/2
pt  ca  (1+3x)^(1/3x)=e