Question

Să se rezolve sistemele :​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$\sqrt{yz} > 0 \implies x > 0$

idem: y >0, z > 0

înmulțim cele 3 relații:

${(xyz)}^{2} = 4 \cdot 9 \cdot 16 \implies xyz = 24$

ridicăm la pătrat și împărțim prin xyz:

$\begin{cases} {x}^{2}yz = 16 \\ x{y}^{2}z = 81 \\ xy {z}^{2} = 256 \end{cases} \iff \begin{cases}x = \dfrac{16}{24} \\ \\y = \dfrac{81}{24} \\ \\ z = \dfrac{256}{24} \end{cases}$

$\implies \begin{cases}x = \dfrac{2}{3} \\ \\y = \dfrac{27}{8} \\ \\ z = \dfrac{32}{3} \end{cases}$

b)

adunăm cele trei relații:

$(x + y + z)^{2} = 100 \implies x + y + z = \pm 10$

$x + y + z = 10 \iff \begin{cases}x = 2 \\y = 3 \\ z = 5 \end{cases}$

și

$x + y + z = - 10 \iff \begin{cases}x = - 2 \\y = - 3 \\ z = - 5 \end{cases}$

Answer 2

Răspuns:

b) Sistemul are două soluții:

1. x = 2; y = 3; z = 5

2.  x = -2; y = -3; z = -5

Explicație pas cu pas:

b)

x(x+y+z)=20 (1)

y(x+y+z)=30 (2)

z(x+y+z)=50 (3)

Din cele 3 ecuații rezultă că x, y, z și x+y+z ≠ 0 (pentru că avem produse diferite de 0).

(1):(2) ⇔ $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$  ⇒  $x = \frac{2y}{3}$  

(2):(3) ⇔ $\frac{y}{z} = \frac{3}{5}$ ⇒ $z = \frac{5y}{3}$

Rescriem ecuația (2) înlocuind pe x și z:

$y(\frac{2y}{3} + y + \frac{5y}{3}) = 30$

$y *\frac{2y+3y+5y}{3} = 30$

y·10y = 90 ⇒ 10y² = 90 ⇒ y² = 9 ⇒ y = ±3

pentru y = 3 ⇒ x = (2·3)/3 ⇒ x = 2 ; z = (5·3)/3 ⇒ z = 5

pentru y = -3 ⇒ x = -2 ; z = -5