Question

Sa se rezolve sistemul simetric:

$\left \{ {{2x^2 + 2y^2 + (x-y)^2 =9} \atop {x+y+xy=-1}} \right.$

Dau vot si cel mai bun raspuns! 

MULTUMESC!

Answer 1

A doua ecuaţie se poate transforma în:

$x+y+xy +1 = 0$ (l-am trecut pe -1 în partea cealaltă)

Îl dăm factor comun pe X:
$x(y+1) + y + 1 =0$ 

Îl dăm factor comun pe y+1:
$(x+1)(y+1)=0$

De aici deducem că x=-1 sau y=-1 şi o să avem două cazuri:

cazul I: x=-1 . Îl inlocuim, în prima ecuaţie, pe x cu -1:

[tex]2(-1)^{2} + 2y^{2} + (-1-y)^2 = 9 \\ 3y^{2} + 2y -6 = 0 [/tex] - ecuaţie de gradul II, pe care o faci cu delta. 

[tex]y_{1}= \frac{-1- \sqrt{19} }{3} \\ y_{2}= \frac{\sqrt{19}-1 }{3} [/tex]


cazul II: y=-1. Îl inlocuim pe y în prima ecuaţie, cu -1

$2x^2+2(-1)^2+(x+1)^2=9$
$3x^2 + 2x - 6 =0$

O să iasă la fel ca mai sus, adică:

$x_{1}= \frac{-1- \sqrt{19} }{3} \\ x_{2}= \frac{\sqrt{19}-1 }{3}$

În concluzie avem 4 soluţii:

soluţia 1:
$x= -1\\ y= \frac{\sqrt{19}-1 }{3}$

soluţia 2:
$x= -1\\ y= \frac{-1-\sqrt{19} }{3}$

soluţia 3:

$x= \frac{-1- \sqrt{19} }{3} \\ y= -1$

soluţia 4:
$x= \frac{\sqrt{19}-1 }{3} \\ y= -1$