Question

Sa se rezolve sistemul simetric:

$\left \{ {{2x^2 + 2y^2 + (x-y)^2 =9} \atop {x+y+xy=-1}} \right.$

Dau vot si cel mai bun raspuns! 

Answer 1

Notez:  $u=x+y \\ \\ v=xy$

Prima ecuație se poate rescrie:

$2x^2+2y^2+x^2-2xy+y^2=9 \\ \\ 3(x^2+y^2)-2xy=9 \\ \\ 3(x+y)^2-8xy=9 \\ \\ 3u^2-8v=9.$

Atunci sistemul devine:

$\displaystyle \left\{3u^2-8v=9\atop u+v=-1$

Scoatem pe v din a doua și-l introducem în prima, obținând:

$3u^2+8u-1=0 \\ \\ \Rightarrow u_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{19}}{3} \\ \\ \Rightarrow v_{1,2}=\dfrac{1\mp\sqrt{19}}{3}$

Avem apoi de rezolvat sistemul 
$\left\{x+y=u\atop xy=v$

care se rezolvă găsind soluțiile ecuației asociate lui  $t^2-ut+v=0$

Pentru cazul 1, avem ecuația  $t^2-u_1t+v_1=0$ ,  care dă soluțiile $\left\{-1;\dfrac{-1+\sqrt{19}}{3}\right\}=\left\{ \alpha _1; \beta _1\right\}$

Pentru celălalt caz, obținem soluțiile $\left\{-1;\dfrac{-1-\sqrt{19}}{3}\right\}=\left\{ \alpha _2; \beta _2\right\}$

În concluzie, avem 4 perechi de soluții: 
$(x,y)=\left\{( \alpha _1, \beta _1);( \beta _1, \alpha _1);( \alpha _2, \beta _2);( \beta _2, \alpha _2)\right\}.$

(PS: Ecuațiile urâte de gr 2 le-am rezolvat cu Wolfram alpha)