Question

Sa se rezolve un triunghi ABC dreptunghic in A stiind că raza cercului inscris este r= √3-1, iar raza cercului circumscris este R=2.​

Answer 1

Răspuns:

$(4;2 \sqrt{3} ;2) \: sau \:(4;2;2 \sqrt{3} )$

Explicație pas cu pas:

△ABC dreptunghic în A

raza cercului înscris este r = √3-1

raza cercului circumscris este R = 2

notăm:

ipotenuza: a

catetele: b, c

a = 2R => a = 4

folosim relația:

$r = \frac{b + c - a}{2} = > b + c = 2r + a = 2( \sqrt{3} - 1) + 4 = 2 (\sqrt{3} + 1)$

$= > b = 2 (\sqrt{3} + 1) - c$

${b}^{2} + {c}^{2} = {a}^{2} = > {b}^{2} + {c}^{2} = 16$

formăm ecuația de gradul 2:

$(2 (\sqrt{3} + 1) - c)^{2} + {c}^{2} = 16 \\ {c}^{2} - 2( \sqrt{3} + 1)c + 4 \sqrt{3} = 0\\ (c - 2)(c - 2 \sqrt{3}) = 0$

$c = 2 = > b = 2 \sqrt{3} \\ c = 2 \sqrt{3} = > b = 2$

=>△ABC dreptunghic în A

$(a;b;c) = (4;2 \sqrt{3} ;2) \: sau \: (4;2;2 \sqrt{3} )$