Question

Sa se rezolve un triunghi ABC, stiind ca masurile unghiurilor formeaza o progresie aritmetica, sinA+sinB+sinC=(3+radical din 3)/2, iar latura cea mai mare are 6 cm.

Answer 1

cele 3 unghiuri sunt in progresie aritmetica
notam cu x
∡A = x  - r (ratia), ∡B = x si ∡C = x + r sunt cele 3 unghiuri
suma masurilor unghiurilor intr-un triunghi=180°
(x-r)+x+(x+r) =180°
3x = 180°⇒ x = 60° deci unghiul B=60°
din ipoteza:
sin ∡A+sin ∡B+sin ∡C = (3 + √3)/2  (1)
sin ∡b=sin 60°=√3/2
atunci relatia (1) devine
sin ∡A +√3/2 + sin ∡C =3/2 +√3/2⇒
sin ∡A + sin ∡C =3/2 +√3/2-√3/2⇒
sin ∡A + sin ∡C =3/2
2sin (A+C)/2×cos (A-C)/2=3/2
si B=(A+C)/2
sin B cos (A-C) = 3/4  si sin B=sin 30°=√3/2

⇒√3/2 ×cos (A-C) = 3/4
cos(A - C)/2=√3/2⇒
 (A-C)/2=30°
dar ∡A=30-r  si ∡C= 30+r⇒  r =30°
∡A = x  - r  =  60 - 30 = 30°
 ∡B = x = 60°
si ∡C = x + r = 60° +30°= 90°, astfel am aflat unghiurile

∡A = 30°
 ∡B = 60°
si ∡C = 90°
rezulta ca triunghiul este dreptunghic in C

PENTRU A AFLA MASURILE LATURILOR, APLICAM TEOREMA UNGHIULUI DE 30 DIN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC- Cateta opusa unghiului de 30 grade este jumatatea ipotenuzei,
 ipotenuza este 6 cm(COFORM ENUNTULUI)
C₁=ip/2=6/2= 3 cm,
cealalta cateta se obtine cu teorema lui Pitagora.

C₂²=√(IP²-C₁²)=√(6²-3²)=√(36-9)=√25
C₂ = 5 cm
laturile sunt 6, 5 si 3 cm  iar unghiurile sunt :∡A = 30°,  ∡B = 60° si ∡C = 90°