Question

Sa se rezovle urmatoarea problema.

Answer 1

$\displaystyle Relatia~f(F(x))=x~\forall~x \in \mathbb{R}~atrage~dupa~sine~doua~lucruri: \\ \\ \bullet f-surjectiva \\ \\ \bullet F-injectiva \\ \\ Demonstratie: \\ \\ Vedem~ca~f~genereaza~toate~valorile~reale,~deci~este~surjectiva. \\ \\(Altfel~spus:~ecuatia~f(x)=y~are~cel~putin~o~solutie~pentru~orice~y~real \\ \\ (x=F(y)~este~o~solutie),~deci~f~este~surjectiva).$

$\displaystyle Presupunem~ca~F~nu~este~injectiva.~Atunci~exista~u \neq v~cu~F(u)=F(v). \\ \\ Rezulta~f(F(u))=f(F(v)) \Leftrightarrow u=v,~contradictie.$

$\displaystyle F~este~continua~si~injectiva.~Rezulta~ca~F~este~strict~monotona. \\ \\ Inseamna~ca~F'=f~pastreaza~semn~constant,~contradictie~cu \\ \\ faptul~ca~f~este~surjectiva.$