Question

sa se scrie sub forma canonica functia f:R->R, daca:
a) f(x)=2x²-4x+5
b) f(x)=-3x²-8x+11
c) f(x)=-7x²+8
d) f(x)=4x²-5x

Answer 1

Salutare!

Ce este o funcție de gradul al doilea?

O funcție de forma f : R ⇒ R, f(x) = ax² + bx + c, unde a, b, c ∈ R sunt constante cu a ≠ 0 se numește funcție de gradul al doilea. Constantele reale a, b, c se numesc coeficienții funcției, a se mai numește coeficient dominant iar c termenul liber.

Forma canonică a funcției de gradul al doilea:

$\boxed{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}$

• Se determină coeficienții funcției.
• Se calculează Δ (delta).
• Se află valoarea minimă.
• Se află valoarea maximă.
• Se scrie funcția sub forma relației de mai sus.

Rezolvare:

Punctul a)

f : R ⇒ R

f(x) = 2x² - 4x + 5 ⇒ a = 2, b = -4, c = 5

Δ = b² - 4ac = 16 - 8 × 5 = 16 - 40 = -24

valoarea minimă = $\frac{b}{2a}$ = $\frac{-4}{4}$ = 1

valoarea maximă = $\frac{-delta}{4a}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

$\displaystyle{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}$

f(x) = 2 × (x - 1)² + 3

Punctul b)

f : R ⇒ R

f(x) = -3x² - 8x + 11 ⇒ a = -3, b = -8, c = 11

Δ = b² - 4ac = 64 + 12 × 11 = 64 + 132 = 196

valoarea minimă = $\frac{b}{2a}$ = $\frac{-8}{-6}$ = $\frac{4}{3}$

valoarea maximă = $\frac{-delta}{4a}$ = $\frac{-196}{-12}$ = $\frac{49}{3}$

$\displaystyle{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}$

f(x) = -3 × (x + $\frac{4}{3}$)² + $\frac{49}{3}$

Punctul c)

f : R ⇒ R

f(x) = -7x² + 8 ⇒ a = -7, b = 0, c = 8

Δ = b² - 4ac = 28 × 8 = 224

valoarea minimă = $\frac{b}{2a}$ = 0

valoarea maximă = $\frac{-delta}{4a}$ = $\frac{-224}{-28}$ = 8

$\displaystyle{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}$

f(x) = -7 × (x + 0)² + 8

• Deci practic forma canonică a acestei funcții este cam aceeași cu funcția în sine.

Punctul d)

f : R ⇒ R

f(x) = 4x² - 5x ⇒ a = 4, b = -5, c = 0

Δ = b² - 4ac = 25 - 0 = 25

valoarea minimă = $\frac{b}{2a}$ = $\frac{-5}{8}$ (putem să o lăsăm așa sau să o transformăm în fracție zecimală)

valorea maximă = $\frac{-delta}{4a}$ = $\frac{-25}{16}$ (este valabil același lucru ca mai sus)

$\displaystyle{f(x)=a\times(x + \frac{b}{2a})^{2}+\frac{-delta}{4a}}$

f(x) = 4 × (x + $\frac{-5}{8}$)² + $\frac{-25}{16}$

- Lumberjack25