Question

Sa se studieze convergenta sirurilor si sa se determine limitele

Answer 1

c)a1=0
a2=1
a3=3/2
a4=7/4
a5=15/8
-------------------------
an=[2^(n-1)-1]/2^(n-2)  (A
Se  demonstreaza  prin  inductie,Se  considera  an  adevarata  .Se  verifica  daca  si  an+1=adevarata
an+1=[2^n-1]/2^(n-1)  relatia (B
Dar  an+1  =  prin  definitie=1/2*an+1
an+1=1/2*[2^(n-1)-1]/2^(n-2)+1=[2^(n-1)-1]/2^(n-1)=[2^(n-1)-1+2^(n-1)]/2^(n-1)=(2*^2^(n-1)-1)/2^(n-1)=(2^(n)-1)/2^(n-1)=(B
Deci  Pn=>Pn+1
SE  va  studia  an dpdv  al  monotoniei Se  compara  an  cu  an+1\
Pt  aceasta se  amplifica  cu  2  an si  se  obtine
2^(n-1)-2]/2^(n-1)<2^(n)/2^(n-1)  an<an=1  =>  an  sir  crescator
,Marginirea  an>0
an=[2^(n-2)-1]/2^(n-2)=[2^(n-2)/2^(n-2)]-1/2^(n-2)=2-1/2^(n-2)<2 C)
deci  an∈[0,2)  margoinit
an  =marginit  si  monoton=>convergent
Vom  trece  la  limita  in  relatia  c)
lim an=lim(2-1/2^(n-2))=2