Question

Sa se studieze daca următoarele functii sunt integrabile.
Pt b,c,e

Answer 1

Răspuns:

b) $\lim_{x\searrow 0} f(x) =\lim_{x\searrow 0 } \frac{\sin 2x}{x} = 2 \lim_{x\searrow 0}\frac{\sin 2x}{2x}=2\cdot 1 =2 =f(0)$

deci f este continua in 0. Pe de alta parte f e continua pe $(0,\pi]$, deci f este continua pe $[0,\pi]$. f continua pe $[0,\pi]$ =>  f este integrabila.

La c) e aceeasi idee: $\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} \frac{tg x}{3x}=\frac{1}{3}=f(0)$ deci f e continua in 0. Pe de alta parte, f e continua pe $[-\frac{\pi}{3},0)\cup (0,\frac{\pi}{3}]$, deci f este continua pe $[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}]$, deci integrabila.

e) f(x)=|x+1| este continua (compunere de functii elementare continue), deci este integrabila.

Observatie: Daca $f:[a,b]\to\mathbb R$ este continua, atunci este integrabila. Esential e sa fie un interval inchis si marginit! Altfel nu mai e adevarat. De ex. $f(x)=\frac{1}{x}$ e continua pe (0,1] dar nu e integrabila pe (0,1]. (Integrala Riemann oricum e doar pentru functii definite pe intervale inchise si marginite)